Limits and Derivatives

CBSE · Class 11 · Maths · Chapter 12 · 48 words

All words in this list

• algebra of derivatives — Rules for differentiating sums, differences and constant multiples: (u ± v)′ = u′ ± v′ and (cu)′ = c u′.अवकलजों का बीजगणित — योग, अंतर और अचर गुणज के…جبر المشتقات: قواعد اشتقاق المجموع والفرق والضرب…algèbre des dérivées :′ = u′ ± v′ et′ = c u′aljabar turunan:′ = u′ ± v′ dan′ = c u′导数的运算法则：′ = u′ ± v′，′ = c u′
• algebra of limits — Rules: limit of sum, difference, product, quotient equals the sum, difference, product, quotient of limits (denominator limit ≠ 0).सीमाओं का बीजगणित — योग, अंतर, गुणनफल, भागफल की…جبر النهايات: نهاية المجموع والفرق والجداء…algèbre des limites : limite d'une somme…aljabar limit: limit jumlah, selisih, hasil kali…极限的运算法则：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商（分母极限不为 0）
• average rate of change — The change in f divided by the change in x over an interval.औसत परिवर्तन दरمتوسط معدل التغير: التغير في f مقسوماً على التغير…taux de variation moyen : variation de f divisée…laju perubahan rata-rata: perubahan f dibagi…平均变化率：区间上 f 的改变量除以 x 的改变量
• chain rule — Derivative of a composite function: dy/dx = (dy/du)(du/dx), or (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).शृंखला नियम — संयुक्त फलन का अवकलज: dy/dx =…قاعدة السلسلة: مشتقة الاقتران المركب dy/dx =règle de dérivation en chaîne : dy/dx =aturan rantai: dy/dx =链式法则：dy/dx =
• constant rule — The derivative of a constant is zero: d/dx (c) = 0.अचर नियम — अचर का अवकलज शून्य होता है: d/dx = 0قاعدة الثابت: مشتقة الثابت تساوي صفرًا d/dx = 0règle de la constante :′ = 0aturan konstanta: turunan konstanta adalah nol…常数法则：常数的导数为 0，d/dx = 0
• continuity — A function is continuous at a if lim (x → a) f(x) = f(a); its graph has no break there.संतता — फलन a पर संतत है यदि lim f = fالاستمرارية: الاقتران مستمر عند a إذا كانت lim f…continuité : f est continue en a si lim f = f…kekontinuan: fungsi kontinu di a jika lim f = f…连续性：若 lim f = f，则 f 在 a 处连续，图像不断开
• derivative — Rate of change of a function: f′(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)]/h, also the slope of the tangent.अवकलज — फलन के परिवर्तन की दर: f′ = lim [f −…المشتقة: معدل تغير الاقتران f′ = lim [f − f]/h…dérivée : taux de variation f′ = lim [f − f]/h…turunan: laju perubahan fungsi f′ = lim [f −…导数：函数的变化率 f′ = lim [f − f]/h，也是切线斜率
• derivative at a point — The number f′(a): the slope of the tangent to y = f(x) at x = a.बिंदु पर अवकलज — संख्या f′: y = f की x = a पर…المشتقة عند نقطة: العدد f′ وهو ميل مماس y = f عند…dérivée en un point : nombre f′, pente de la…turunan di satu titik: bilangan f′, gradien garis…在某点的导数：数 f′，即 y = f 在 x = a 处切线的斜率
• derivative from first principles — Finding f′(x) from the limit f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)] ÷ h.प्रथम सिद्धांत से अवकलजالمشتقة من التعريف: f′ = lim [f − f] ÷ h عندما h…dérivée par la définition : f′ = lim [f − f] ÷ h…turunan dengan definisi limit: f′ = lim [f − f] ÷…用定义求导数：f′ = lim [f − f] ÷ h（h → 0）
• derivative of logarithmic function — Rule: d/dx (ln x) = 1/x, x > 0; base a gives 1 ÷ (x ln a).लघुगणकीय फलन का अवकलजمشتقة الدالة اللوغاريتمية: d/dx = 1/xdérivée de la fonction logarithme : d/dx = 1/x…turunan fungsi logaritma: d/dx = 1/x untuk x > 0对数函数的导数：d/dx = 1/x（x > 0）
• derivative of polynomial functions — Differentiate each term using d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹ and add; constants vanish.बहुपद फलनों का अवकलज — d/dx = n xⁿ⁻¹ से हर पद का…مشتقة كثيرات الحدود: اشتق كل حد بالقاعدة d/dx = n…dérivée des polynômes : d/dx = n xⁿ⁻¹ terme à…turunan fungsi polinomial: d/dx = n xⁿ⁻¹ pada…多项式函数的导数：逐项用 d/dx = n xⁿ⁻¹，常数项导数为 0
• derivative of trigonometric functions — Standard results: d/dx sin x = cos x, d/dx cos x = −sin x, d/dx tan x = sec² x (x in radians).त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज — मानक परिणाम: d/dx…مشتقات الاقترانات المثلثية: d/dx sin x = cos x…dérivées des fonctions trigonométriques :′ = cos…turunan fungsi trigonometri:′ = cos x,′ = −sin…三角函数的导数：′ = cos x，′ = −sin x，′ = sec² x（弧度制）
• difference quotient — The expression [f(x + h) − f(x)] ÷ h, whose limit as h → 0 is the derivative.अंतर-भागफलخارج قسمة الفرق: [f − f] ÷ h ونهايته عندما h → 0…taux d'accroissement : [f − f] ÷ h, dont la…hasil bagi selisih: [f − f] ÷ h yang limitnya…差商：[f − f] ÷ h，当 h → 0 时的极限为导数
• differentiation — The process of finding the derivative of a function.अवकलन — किसी फलन का अवकलज निकालने की प्रक्रियाالاشتقاق: عملية إيجاد مشتقة الاقترانdérivation : opération consistant à calculer la…diferensiasi: proses mencari turunan suatu fungsi求导（微分）：求函数导数的过程
• direct substitution — Finding a limit by simply putting x = a into the expression.प्रत्यक्ष प्रतिस्थापनالتعويض المباشر: إيجاد النهاية بوضع x = a في…substitution directe : calculer une limite en…substitusi langsung: mencari limit dengan…直接代入法：把 x = a 直接代入表达式求极限
• existence of a limit — A limit exists at a when the left-hand and right-hand limits are equal and finite.सीमा का अस्तित्व — a पर सीमा तब होती है जब बायाँ…وجود النهاية: توجد النهاية عند a إذا تساوت…existence d'une limite : la limite existe si…keberadaan limit: limit ada jika limit kiri dan…极限存在：左、右极限相等且有限时极限存在
• first principle — Finding a derivative directly from the definition f′(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)]/h.प्रथम सिद्धांत — परिभाषा f′ = lim [f − f]/h से…من المبادئ الأولى: إيجاد المشتقة مباشرة من…à partir de la définition : calcul de la dérivée…prinsip pertama: mencari turunan langsung dari…导数定义法（第一原理）：直接用定义求导
• increment — A small change Δx in a variable, with matching change Δy.वृद्धिالزيادة: تغير صغير Δx في المتغير يقابله Δy في…accroissement : petite variation Δx de la…pertambahan: perubahan kecil Δx pada peubah…增量：变量的微小改变 Δx 及对应函数改变量 Δy
• indeterminate form — An expression like 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞ or 1^∞ whose limit cannot be decided by substitution alone.अनिर्धार्य रूप — 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞ या 1^∞…صيغة غير معينة: تعبير مثل 0/0 أو ∞/∞ أو ∞ − ∞ لا…forme indéterminée : expression comme 0/0, ∞/∞, ∞…bentuk tak tentu: ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞ −…不定式：如 0/0、∞/∞、∞ − ∞ 等不能仅靠代入确定极限的形式
• infinite limit — A limit where f(x) grows without bound as x approaches a number, written lim f(x) = ∞.अनंत सीमाنهاية لانهائية: تكبر f بلا حد عندما تقترب x من عددlimite infinie : f croît sans borne quand x…limit tak hingga: f membesar tanpa batas saat x…无穷极限：x 趋近某数时 f 无界增大
• infinity — A quantity growing without bound, written ∞; not a number, but used to describe limits as x → ∞.अनंत — बिना सीमा के बढ़ती राशि, ∞اللانهاية: كمية تزداد بلا حد ويرمز لها ∞ وليست…infini : quantité croissant sans borne, notée ∞…tak hingga: besaran yang membesar tanpa batas…无穷大：无限增长的量，记作 ∞，不是一个具体数
• instantaneous rate of change — How fast a quantity is changing at one exact instant, equal to the derivative at that point.तात्क्षणिक परिवर्तन दर — किसी राशि के ठीक एक क्षण…معدل التغير اللحظي: سرعة تغير كمية عند لحظة محددة…taux de variation instantané : vitesse de…laju perubahan sesaat: seberapa cepat suatu…瞬时变化率：某一时刻量变化的快慢，等于该点的导数
• instantaneous velocity — The velocity at a single instant, equal to the derivative of position with time.तात्क्षणिक वेगالسرعة اللحظية: سرعة الجسم في لحظة معينة وتساوي…vitesse instantanée : vitesse à un instant donné…kecepatan sesaat: kecepatan pada satu saat, sama…瞬时速度：某一时刻的速度，等于位置对时间的导数
• lagrange notation — The way of writing a derivative with primes, as f′(x), f″(x).लाग्रांज संकेतनرمز لاغرانج: كتابة المشتقة بالشرطات f′ و f″notation de Lagrange : dérivée notée avec des…notasi Lagrange: turunan ditulis dengan aksen f′…拉格朗日记号：用撇号表示导数 f′、f″
• left-hand limit — The value f(x) approaches as x approaches a from values smaller than a; written lim f(x) as x → a⁻.बायाँ पक्ष सीमा — x के a से छोटे मानों से a की ओर…النهاية من اليسار: القيمة التي يقترب منها f عندما…limite à gauche : valeur dont f se rapproche…limit kiri: nilai yang didekati f saat x…左极限：x 从小于 a 的一侧趋近 a 时 f 趋近的值
• leibniz notation — The way of writing a derivative as dy/dx, the rate of change of y with respect to x.लाइबनिट्ज़ संकेतनرمز لايبنتز: كتابة المشتقة dy/dx أي معدل تغير y…notation de Leibniz : dérivée écrite dy/dx, taux…notasi Leibniz: turunan ditulis dy/dx, laju…莱布尼茨记号：把导数写成 dy/dx，表示 y 对 x 的变化率
• limit — The value a function f(x) approaches as x gets closer and closer to a point a, written lim f(x).सीमा — वह मान जिसकी ओर फलन f बढ़ता है जब x बिंदु…النهاية: القيمة التي يقترب منها الاقتران f عندما…limite : valeur dont f se rapproche quand x tend…limit: nilai yang didekati f saat x mendekati a极限：x 趋近 a 时 f 所趋近的值
• limit at infinity — The value a function approaches as x grows without bound, written lim f(x) as x → ∞.अनंत पर सीमाالنهاية عند اللانهاية: القيمة التي تقترب منها…limite à l'infini : valeur dont f se rapproche…limit di tak hingga: nilai yang didekati fungsi…无穷远处的极限：x 无限增大时函数趋近的值
• limit laws — Rules for finding limits of sums, products and quotients from the limits of the parts.सीमा के नियमقوانين النهايات: قواعد إيجاد نهاية المجموع…lois des limites : règles pour la limite d'une…hukum limit: aturan limit jumlah, hasil kali dan…极限运算法则：由各部分极限求和、积、商的极限的规则
• limit laws — Rules for finding limits of sums, products and quotients from the limits of the parts.सीमा के नियमقوانين النهايات: قواعد إيجاد نهاية المجموع…lois des limites : règles pour la limite d'une…hukum limit: aturan limit jumlah, hasil kali dan…极限运算法则：由各部分极限求和、积、商的极限的规则
• limit laws — Rules for finding limits of sums, products and quotients from the limits of the parts.सीमा के नियमقوانين النهايات: قواعد إيجاد نهاية المجموع…lois des limites : règles pour la limite d'une…hukum limit: aturan limit jumlah, hasil kali dan…极限运算法则：由各部分极限求和、积、商的极限的规则
• limit laws — Rules for finding limits of sums, products and quotients from the limits of the parts.सीमा के नियमقوانين النهايات: قواعد إيجاد نهاية المجموع…lois des limites : règles pour la limite d'une…hukum limit: aturan limit jumlah, hasil kali dan…极限运算法则：由各部分极限求和、积、商的极限的规则
• limit laws — Rules for finding limits of sums, products and quotients from the limits of the parts.सीमा के नियमقوانين النهايات: قواعد إيجاد نهاية المجموع…lois des limites : règles pour la limite d'une…hukum limit: aturan limit jumlah, hasil kali dan…极限运算法则：由各部分极限求和、积、商的极限的规则
• limit of sin x over x — The standard limit lim (sin x ÷ x) = 1 as x → 0, with x in radians.sin x ÷ x की सीमाنهاية sin x ÷ x: النهاية القياسية تساوي 1 عندما x…limite de sin x ÷ x : limite classique égale à 1…limit sin x ÷ x: limit baku bernilai 1 saat x → 0sin x ÷ x 的极限：x → 0（弧度制）时极限为 1
• limits of exponential functions — Key limit lim (eˣ − 1)/x = 1 as x → 0, and more generally lim (aˣ − 1)/x = ln a.चरघातांकी फलनों की सीमाएँ — मुख्य सीमा x → 0 पर…نهايات الاقترانات الأسية: lim/x = 1 عندما x → 0…limites des fonctions exponentielles : lim/x = 1…limit fungsi eksponensial: lim/x = 1 saat x → 0指数函数的极限：x → 0 时 lim/x = 1
• limits of logarithmic functions — Key limit lim ln(1 + x)/x = 1 as x → 0.लघुगणकीय फलनों की सीमाएँ — मुख्य सीमा x → 0 पर…نهايات الاقترانات اللوغاريتمية: lim ln/x = 1…limites des fonctions logarithmiques : lim ln/x =…limit fungsi logaritma: lim ln/x = 1 saat x → 0对数函数的极限：x → 0 时 lim ln/x = 1
• limits of polynomial functions — For a polynomial p(x), lim p(x) as x → a is simply p(a).बहुपद फलनों की सीमाएँ — बहुपद p के लिए x → a पर…نهايات كثيرات الحدود: نهاية كثيرة حدود p عند a…limites des polynômes : lim p quand x → a vaut plimit fungsi polinomial: lim p saat x → a sama…多项式函数的极限：x → a 时 lim p = p
• limits of rational functions — For p(x)/q(x), substitute x = a if q(a) ≠ 0; if it gives 0/0, factorise and cancel first.परिमेय फलनों की सीमाएँ — p/q के लिए q ≠ 0 हो तो x…نهايات الاقترانات النسبية: عوّض x = a إن كان q ≠…limites des fonctions rationnelles : substituer x…limit fungsi rasional: substitusi x = a jika q ≠ 0有理函数的极限：q ≠ 0 时直接代入；出现 0/0 先因式分解约分
• limits of trigonometric functions — Key limits like sin x / x → 1 as x → 0 (x in radians).त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ — मुख्य सीमाएँ जैसे…نهايات الاقترانات المثلثية: مثل lim sin x / x = 1…limites des fonctions trigonométriques : lim sin…limit fungsi trigonometri: lim sin x / x = 1 saat…三角函数的极限：如 x → 0 时 lim sin x / x = 1（x 用弧度）
• power rule — Derivative of xⁿ is n xⁿ⁻¹ (for real n).घात नियम — xⁿ का अवकलज n xⁿ⁻¹قاعدة القوة: مشتقة xⁿ تساوي n xⁿ⁻¹règle de la puissance :′ = n xⁿ⁻¹aturan pangkat: turunan xⁿ adalah n xⁿ⁻¹幂函数求导法则：′ = n xⁿ⁻¹
• product rule — Derivative of a product: (uv)′ = u′v + uv′.गुणनफल नियम — गुणनफल का अवकलज:′ = u′v + uv′قاعدة الضرب: مشتقة الجداء′ = u′v + uv′règle du produit :′ = u′v + uv′aturan hasil kali:′ = u′v + uv′乘积法则：′ = u′v + uv′
• quotient rule — Derivative of a ratio: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², where v ≠ 0.भागफल नियम — अनुपात का अवकलज:′ =/v², v ≠ 0قاعدة القسمة: مشتقة النسبة′ =/v² حيث v ≠ 0règle du quotient :′ =/v², v ≠ 0aturan hasil bagi:′ =/v², v ≠ 0商法则：′ =/v²，v ≠ 0
• right-hand limit — The value f(x) approaches as x approaches a from values larger than a; written lim f(x) as x → a⁺.दायाँ पक्ष सीमा — x के a से बड़े मानों से a की ओर…النهاية من اليمين: القيمة التي يقترب منها f عندما…limite à droite : valeur dont f se rapproche…limit kanan: nilai yang didekati f saat x…右极限：x 从大于 a 的一侧趋近 a 时 f 趋近的值
• sandwich theorem — If g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) near a and lim g = lim h = L, then lim f = L.सैंडविच प्रमेय — यदि a के निकट g ≤ f ≤ h और lim g…مبرهنة الشطيرة: إذا كان g ≤ f ≤ h قرب a ونهايتا g…théorème des gendarmes : si g ≤ f ≤ h et lim g =…teorema apit: jika g ≤ f ≤ h dan lim g = lim h =…夹逼定理：若 g ≤ f ≤ h 且 lim g = lim h = L，则 lim f = L
• slope of a secant — The slope of the line through two points on a curve, [f(b) − f(a)] ÷ (b − a).छेदक रेखा की ढालميل القاطع: ميل المستقيم المار بنقطتين على المنحنىpente d'une sécante : pente de la droite passant…gradien garis potong: gradien garis melalui dua…割线的斜率：过曲线上两点的直线的斜率
• slope of tangent — The slope of the line touching a curve at a point, equal to the derivative f′(a) there.स्पर्श रेखा की प्रवणता — वक्र को एक बिंदु पर छूने…ميل المماس: ميل المستقيم الذي يمس المنحنى عند…pente de la tangente : pente de la droite…gradien garis singgung: gradien garis yang…切线斜率：与曲线在一点相切的直线的斜率，等于该点的 f′
• squeeze theorem — If g ≤ f ≤ h near a and g, h tend to L, so does f.निपीड़न प्रमेयمبرهنة الإطباق: دالة محصورة بين دالتين لهما…théorème des gendarmes : une fonction encadrée…teorema apit: fungsi yang terapit dua fungsi…夹逼定理：被两个极限相同的函数夹住的函数极限也相同
• standard limits — Memorised limits: sin x/x → 1, (eˣ − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1, (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n aⁿ⁻¹.मानक सीमाएँ — याद रखने योग्य सीमाएँ: sin x/x →…النهايات القياسية: نهايات محفوظة مثل sin x/x → 1…limites usuelles : sin x/x → 1,/x → 1, ln/x → 1,/…limit baku: sin x/x → 1,/x → 1, ln/x → 1,/ → n…标准极限：sin x/x → 1、/x → 1、ln/x → 1、/ → n aⁿ⁻¹